Rabu, 25 Juli 2012

BUNTU




Siapa sih yang gag bakal bingung saat suatu waktu lo sepedahan ke sebuah rute yang baru yang sama sekali belum pernah lo kunjungi.Pas udah seneng-seneng ditengah jalan,eh...didepan lo malah nemu tembok yang artinya lo masuk ke jalan buntu sist.Udah gag bisa jalan lagi sepedah loh.Kecuali ada lubang tikus yang cukup buat masukin stang  sepedah lo.Dan pilihan yang tersedia cuma dua: lo nerobos tembok,ato lo puter balik.Mau nerobos tembok,kasian ntar badan lecet-lecet karena udah tinggal tulang doang.Mau puter balik,nambah capek aja karena tuh kaki dah lumayan gempor kayuh sepeda ampek sejauh itu.Jadi pilihan alternatif yang mungkin cuma lo bisa diem.Meratapi nasib buruk lo.Ato kalok perlu pura-pura mati aja kayak bisikan dari dunia ghaib yang pernah gue denger.*MATI


Mungkin keadaan kayak diatas sedang terjadi pada gue saat ini.Bedanya kalok tuh orang bernasib buruk dalam sepedahan,tapi kalok gue bernasib buruk dalam suatu hubungan.Dimana keduanya sama-sama dihadapkan pada jalan buntu.Dengan tawaran pilihan hanya ada dua : maju nerobos,ato mundur.Dan ditambah satu pilihan alternatif yaitu pura-pura mati.*Mati
Kalo gue boleh milih dari dua kejadian diatas,mungkin lebih enak nemu jalan buntu pas sepedahan kali ya.Kenapa ran? Karena gue bisa gunain kekuatan super duper ajib wonder women gue buat terbang ke langit luas sambil nenteng sepedah n sampe rumah dengan selamet walafiat.Sementara...dalam suatu hubungan gue gag mungkin bisa ngelakuin hal itu.Dan malah...pilihannya akan menjadi lebih rumit karena melibatkan hati dan air mata.Yes! Sukses dah gue galau...


Dalam suatu hubungan,jika memilih pilihan untuk MAJU yang artinya harus rela nerobos tembok beton didepan gue ,jadi gue mungkin harus siep-siep ngerasa sakit ato bahagia saat guee udah berhasil nerobosnya.Dengan jaminan...pasti bakal sakit nyet.Karena apapun yang ada didepan gue sekarang,itu bukanlah hal yang gue inginkan.Gag ada yang bakal pernah berdoa punyak hubungan bakal nemu jalan buntu kayak gue.


Jika milih buat MUNDUR yang artinya mengulangi lagi rute gue,itu juga gag bagus-bagus amet.Lebih banyak capeknya n energi yang bakal dipake buat meniti ulang lagi jalan-jalan yang pernah dilalui.Dan belum ada jaminan bahwa jalan baru yang gue ambil gag bakal bawa gue balik lagi ngadepin jalan buntu ini.Kesakitannya bakal sama parahnya.


N akhirnya gue cuma bisa pura-pura mati buat mikirin apa yang harus gue pilih untuk nyelametin hubungan gue,nyelametin hatinya dia,n mungkin...kalok masih sempet... nyelametin hati gue juga.Ini kali ya alasannya kenapa doraemon gag ngasi pinjem mesin waktunya buat ngeliat ke masa depan.Karena gue pasti jadi pengecut.Gue pasti gag berani bangun tidur n ngadepin kenyataan bahwa waktu berjalan terus.Peristiwa-peristiwa antara gue n dia yang terjadi di hari kemarin bakal jadi kenangan.Gue pasti bakal milih tetep tinggal dihari-hari bahagia gue ama dia kalok tau dimasa depan gue bakal nemuin jalan buntu kayak gini.Gue pasti bakal ngerogoh lagi kantongnya doraemon buat berhentiin waktu saat gue n dia lagi duduk dilapangan nglliatin bintang padahal lagi mendung.Gue pasti juga bakal hentiin waktu saat gue lagi liburan berdua ke pante sambil lempar-lemparan pasir.N pastinya gue bakal enggan ngelanjutin waktu saat pertemuan pertama kami.Itu sangat menyenangkan.



Dan mungkin malem ni bakal jadi malem tergalau paling panjang yang pernah gue alamin.Bakal diomel emak lagi nih besok gara-gara ngabisin tisue lagi.Srooooooooooooooot! Peduli amet! Yang penting lewat kegalauan gue ini gue pengen menyapa dia yang mungkin lagi terhanyut ama alam mimpinya.Bahwa gue sayang banget ama dia.Meski akhirnya nanti gue gag sempet nyelametin hati gue,tapi setidaknya gue bisa nunjukin sayang gue yang dalem ni dengan nyelametin hati n ambisinya dia.Meskipun akhirnya nanti gue babak belur terluka,tapi gue harep dia mendapatkan yang terbaik dari yang gue bisa berikan.Dan meskipun akhirnya nanti kisah ini jadi sad story buat gue,tapi dia bisa ngenang gue sebagai hapy story ever afternya.Yah...apapun jawabannya nanti,buat kamu sayang,I love u.

Sabtu, 14 Juli 2012

FILOSOFI KENANGA



Siang-siang bolong emang enaknya ngabisin waktu liburan dengan acara molor ditempat tidur ampek 3 jam-an.Disamping manfaatnya banyak banget buat kesehatan tubuh,tidur siang juga bagus buat perawatan kecantikan kulit gue.Tapi...bakal gak nyaman banget kalok saat jam tidur siang lo,pacar lo tiba-tiba nelpon penting banget bangunin lo padahal lo baru setengah jalan mau nyampe istana buat jadi Cinderella dimimpi lo.Atau pas lagi asik-asiknya mejemin mata,tiba-tiba tetangga lo disamping rumah nyalain tape recorder dengan volume suara hampir orang sekomplek bisa denger ditambah lagu-lagunya JADUL-JADUL abis! Tersiksa banget kan acara tidur siang lo ? Nah ... itu yang gue alamin diawal liburan gue dibulan Juli ini.Alhasil...gue bangun dengan kepala miring sebelah sambil berusaha ngeluarin racun-racun akibat dari lirik lagu yang gue denger tadi.
“Bukannya bunga...petik layuu...”
“Bukannya bunga...harum layuu..”
“Bukannya bunga...sedap malam...”
Intinya sih liriknya kayak gitu.Jadi heran gue nih lagu tentang apaan sih kok pake bunga-bungaan segala.Bunga Sedap Malam pula yang dipake dalem liriknya.Jelek banget.Tapi anehnya emak gue yang dulu idup dijaman saat nih lagu tenar,asik-asik aja dengernya tanpa ngerasa tuh tetangga gag sopan banget nyalain tape recorder siang-siang gini.Gue bete abis.Karena nih lagu bikin gue gag bisa tidur siang! Akhirnya gue cuma bisa nyalain laptop n termenung masih dihantui lagu Bunga Sedap Malam-yang gue gag tau judul n penyanyinya siapa,emak gue juga udah gue tanyak tapi dia sama bloonnya ma adik gue- jadi gue putusin buat kasi judul lagu tuh : Bunga Sedap Malam.Kalo diantara kalian mungkin yang tau tuh lagu judul n penyanyinya siapa,please coment yah.Lebih bagus lagi kalo kalian tau tahun beredarnya tuh lagu,biar gue bisa pake mesin waktunya Doraemon buat pergi ketaon itu dan ngelarang tuh lagu beredar.Mampus...
Sambil menenangkan batin gue yang terusik,gue mencoba memamahi kok nih orang buat lagu pake bunga sedap malam yak.Gag ada bunga yang bagusan pa dijaman itu? Mending bunga mawar gitu,yang katanya lambang cinta.Bunga anggrek gitu,yang bunganya cukup terkenal.Lha...ini kok bunga sedap malem! Kalok seandainya gue dapet tugas nulis lirik lagu tentang bunga dari dosen gue-padahal gag mungkin banget- gue pasti milih lagu tentang BUNGA KENANGA! Iya...soalnya gue punyak banyak dirumah gue taneman bunga kenanga n pohonnya selalu rajin berbunga.Ditambah lagi gag ribet ngerawatnya,tinggal biarin aja dia tumbuh sendiri semau dia.Lok gag mau,ya gapapa...ya jangan dipaksa.


Gag hanya itu sih alasan gue milih bunga kenanga buat dijadiin lagu.Tapi gue suka banget ama filosofi bunga kenanga yang pernah gue denger dari guru  di SMP gue dulu.Iyah...gue gag boong lo.Gue inget banget pas Guru tuh ngejelasin filosofi bunga kenanga pas gue lagi IMTAQ.Gue inget banget siapa yang ada disamping kanan gue pas tuh: tembok,gue inget juga siapa yang ada dibelakang gue pas tuh: tembok,n gue juga masih inget siapa yang disebelah kiri gue : tembok juga.Lho? Kok ini jadi kayak adegan gue lagi duduk dikloset sih? Ralat! Ralat!
Pokoknya gue inget...yakin inget banget lok gue gag salah inget tentang filosofi bunga kenanga ini.Jadi kata beliau-Guru gue waktu itu-kalok kita sebagai cewek harus ngikutin filosofi bunga kenapa.Kenapa?Tau kan Bunga Kenanga? Ituh bunga kan dari pertama dia mulai nongol bakal berwarna Hijau tua n kelopaknya masih melengkung kayak rambut ponakan gue yang sukses kereteng abis.Gag ada daya tariknya deh pas masih kecil-kecil gitu.N gag ada yang bakal mau metik dia pas awal-awal mekar.Seiring perkembangannya,kelopak bunga tersebut akan makin memanjang n mulai berwarna kuning cerah dan disertai bau yang harum.Sehingga jadilah dia bunga yang cantik dan harum.Tapi prosesnya menuju menjadi bunga yang harum tersebut cukup lama dari dia pertama muncul.Jadi kalok orang mau metik tuh bunga,biasanya pas bunga tuh udah berwarna kuning n mulai mengharum.N keunikannya nih bunga biarpun dia dipetik malah akan tambah menguning n semakin wangi.Beda ama bunga-bunga lain yang kalok udah dipetik bakal layu n jadi gag cantik lagi seperti dia baru mekar.Sama seperti kita –para cewek- harus bisa jadi seperti bunga Kenanga.Semakin mekar harus bisa semakin tambah harum.Jangan hanya dipetik orang hanya karena keindahannya sesaat tapi bagaimana kita bisa dibutuhkan orang dengan keharuman nama kita.Jadi intinya sebagai cewek jangan hanya ngandalin tampang doang,tapi juga mesti dilengkapai dengan keluhuruan n kebijakasanaan kita.Wuih..kalok tetangga gue punyak ayam pasti bakalan udah mati denger gue ngomong kayak gini.
Alhasill...gue mulai ngambil kertas n pensil buat nulis lirik lagu tentang Bunga Kenanga_meskipun gue nyadar lok gue gag punya bakat jadi musisi.Dan hasilnya malah bukannya lirik lagu,malah jadi sketsa bunga kenanga.Aduh...ini nih kalok bakat dipaksaen kayak gitu.Well,terlepas dari itu gue harapa kita sebagai cewek bisa mengikuti filosofi bunga kenanga yah J J

Who knows...


Sebagian orang banyak yang gag percaya ramalan.Tapi bagi kebanyakan cewek ramalan merupakan seuatu kebutuhan.Entah itu hanya ramalan zodiak sehari-hari yang diliat dari situs web tertentu,ramalan karir mereka dimasa datang,ramalan percintaan mereka yang lagi galau...sayangnya gag ada cewek yang berani ngelirik ramalan putus cinta mereka.Dan gue termasuk diantara kebanyakan cewek seperti itu.
Pada awalnya ramalan hanya gue jadiin sebuah keisengan doang.Terlebih lagi ramalan zodiak sehari-hari yang bakal BEDA ditiap situs web berbeda pula yang gue liat.Semau penulisnya aja mau nulis tentang ramalan zodiak tanpa bener-bener pernah bisa terbukti kebenarannya.N si pembaca bakalan jadi korban karena kebingungan mesti ngikutin ramalan dengan versi beda.Bayangin aja kalo ada suatu ramalan yang bilang kalo gue bakal beruntung make baju warna putih ke kampus.Sementara ramalan yang lain bilang kalo gue beruntungnya kalo pake baju hitem.Nah...lo? Bingung kan? Karena gue bijaksana,gue pasti bakal milih pake baju belang-belang putih n hitem.Sukses deh jadi napi masuk kampus.Dan gue termasuk salah satu korban diantara korban seperti itu.
Tapi pernah gag sih lo diramal secara langsung oleh seseorang n ngalamin sendiri bahwa ramalan tuh orang bener-bener terjadi? Pasti seru donk yah! Setiap apapun yang lo mau tau tentang kehidupan dimasa depan bisa langsung terjawab hanya dengan minta diramal ma tuh orang.Apalagi tingkat kebenerannya hampir mencapai 99 % dengan nilai galat hanya sebesar 0,00001 %.Wah...bakal tiep hari gue datengin tuh rumah peramal n minta diramalin gue mesti pake baju belang-belang ato baju tanpa warna buat masuk kampus.
Tentu kalok ramalan yang lo dapetin adalah suatu ramalan bagus.Seperti ada cowok yang diem-diem naksir lo _dan ternyata itu dagang cillok yang biasa lo utangin_,atau seperti sepulang kuliah nanti lo bakal dapet rejeki yang tak terduga _dan ternyata bener aje pas pulang kuliah tuh dagang cilok menyatakan kalok utang-utang lo dianggep lunas...nas...sss_,kyaaa!!! Bakal seneng banget kan? Kalok kejadian-kejadian dimasa datang lo selalu ketiban Hoki.Dan sayangnya gue bukan termasuk dari mereka yang beruntung seperti itu.
Jadi ceritanya gue pernah nganter...cumak nganter...sepupu gue buat datengin ke orang pinter gitu.N tuh sepupu minta diramal tentang sesuatu yang buat dia galau.Karena tingkat keakuratan nih peramal jampir mencapai 99 % dengan nilai galat yang sperti gue bilang tadi,jadi gue coba-coba aja ikutan diramal.Siapa tahu,gue bakal menang arisan kelas setelah dapet ramalan hoki ntar.Tapi...setelah gue denger ramalan buat kehidupan dimasa depan gue,gue pengen ganti muka_tapi sayangnya gag ada yang mau diajak tukeran_,gue pengen pura-pura lupa ingetan_tapi murit gue yang punyak jurus pelupa tuh gag mau ngajarin gue jurusnya_,dan...akhirnya gue Cuma bisa melongo denger ramalan menyeramkan kayak gitu!
Tenang...tenang...gue gag diramal bakal mati diumur muda kok_orang bodoh gag bakal gampang mati_! Gue hanya diperingatin bahwa di SEMESTER LIMA gue harus jaga diri.Intinya sih gitu yang gue tangkep_maklum kecepatan otak gue buat nangkep kalkulus aja masih odong_.Tuh peramal juga tanggung banget ngasi tau apa yang bakal terjadi disemester itu.Dia sebenernya niat gag sih ngeramal gue.Dan sepertinya gue harus menyesali seumur idup_itupun kalok masih idup_karena mau diramal.Hiks
Seiring berjalannya dengan waktu,dengan sifat gue yang cepet teralihkan dengan hal lain,gue juga mulai lupa tentang ancaman ramalan yang bakal nyerang gue pas udah semester lima.Gue asik-asik aja jalani kehidupan kampus n ngajar gue tanpa inget lagi tuh ramalan.Seperti biasa lagi ngelakuin semua yang pengen gue lakuin.Dan akhirnya satu setengah taun beralalu sejak gue denger ramalan itu dan sekarang gue nyadar kalo gue udah SEMESTER LIMA!! TIDAK!! Kenapa sih mesti ada semester lima dalam tingkat perkuliahan gue? Gag bisa apa gue langsung loncat ke semester ENAM biar ramalan tuh jadi meleset.Dan sayangnya gue gag bakal bisa pindah semester buat nyelametin idup gue.Hiks
Gue bakal tenang-tenang aja kalok peramal tuh tiba-tiba ngadain konfrensi pers buat minta maph ke gue bahwa ramalan ituh salah,bukan buat gue.Tapi gag ada wartawan yang bakal mau,jadinya gue pasrah aja.Dan inilah gue sekarang,ketakutan menghadapi semester lima dimana ada ramalan mengerikan yang bakal nunggu gue.Hiks
Harepan gue sih cuma satu,kalok emang ituh ramalan buat gue_semoga aja bukan_tapi emang bener-bener buat gue sih, gue mau kejadiannya gag buruk-buruk amet.Masih ada kemungkinan kan ramaln ituh bakal gag seburuk kedengarannya kalok gue masih bisa jaga diri dengan baik.Ituh sih kata peramal tuh.Yah...jadi semoga gue masih bertahan hidup buat ngelewatin semester lima nih tanpa terjadi apa-apa.Dan untuk kali ini,gue menjadi salah satu dari kebanyakan orang yang gag percaya dengan ramalan.

Selasa, 10 Juli 2012

Hakikat Matematika




A.  PENGERTIAN MATEMATIKA
Pendefinisian matematika sampai saat ini belum ada kesepakatan yang bulat, namun demikian dapat dikenal melalui karakteristiknya. Sedangkan karakteristik matematika dapat dipahami melalui hakekat matematika.
Matematika timbul karena pikiran-pikiran manusia berhubungan dengan ide dan penalaran. Ide-ide yang dihasilkan oleh pikiran-pikiran manusia itu merupakan sistem-sistem yang bersifat untuk menggambarkan konsep-konsep abstrak, dimana masing-masing sistem bersifat deduktif sehingga berlaku umum dalam menyelesaikan masalah.
Sehubungan dengan hal di atas Hudoyo (1988) menyatakan matematika berkenaan dengan ide-ide (gagasan-gagasan), struktur-struktur dan hubungan-hubungan yang diatur secara logik sehingga matematika itu berkaitan dengan konsep-konsep abstrak. Suatu kebenaran matematika dikembangkan berdasarkan atas alasan logik yang menggunakan pembuktian deduktif. Matematika memiliki peranan penting dalam berbagai aspek kehidupan. Banyak permasalahan dan kegiatan dalam hidup kita yang harus diselesaikan dengan menggunakan ilmu matematika seperti menghitung, mengukur, dan lain – lain. Matematika adalah ilmu universal yang mendasari perkembangan ilmu pengetahuan dan teknologi modern, memajukan daya pikir serta analisa manusia. Peran matematika dewasa ini semakin penting, karena banyaknya informasi yang disampaikan orang dalam bahasa matematika seperti, tabel, grafik, diagram, persamaan dan lain – lain. Untuk memahami dan menguasai informasi dan teknologi yang berkembang pesat, maka diperlukan penguasaan matematika yang kuat sejak dini. Sedang Soedjadi (1985) berpendapat bahwa simbol-simbol di dalam matematika umumnya masih kosong dari arti sehingga dapat diberi arti sesuai dengan lingkup semestanya. Berdasarkan uraian di atas, agar supaya simbol itu berarti maka kita harus memahami ide yang terkandung di dalam simbol tersebut. Karena itu, hal terpenting adalah bahwa ide harus dipahami sebelum ide itu sendiri disimbolkan. Misalnya simbol (x, y) merupakan pasangan simbol “x” dan “y” yang masih kosong dari arti. Apabila konsep tersebut dipakai dalam geometri analitik bidang, dapat diartikan sebagai kordinat titik, contohnya A(1,2), B(6,9), titik A (1,2) titik A terletak pada perpotongan garis x = 1 dan y = 2 titik B( 6, 9) artinya titik B terletak pada perpotongan garis x = 6 dan y = 9. Hubungan–hubungan dengan simbol-simbol dan kemudian mengaplikasikan konsep-konsep yang dihasilkan kesituasi yang nyata.
Matematika memiliki objek abstrak disebut juga objek mental yang ada dalam pikiran, meliputi objek dasar: (1) fakta, (2) konsep, (3) definisi, (4) operasi, (5) prinsip
Dari objek dasar disusun suatu pola dan struktur matematika. Objek dasar tersebut yaitu sebagai berikut :
Ø Fakta (abstrak)
Berupa konvensi-konvensi yang diungkap dengan simbol tertentu. Simbol bilangan “3” bisa dipahami bilangan tiga, fakta “3 + 4” dipahami sebagai “tiga ditambah empat”, fakta “3 x 5 = 5 + 5 + 5 = 15”, simbol “//” bermakna sejajar (a,b) sebagai pasangan berurutan.
Ø Konsep
Ide abstrak yang dapat digunakan untuk menggolongkan atau mengklasifikan sekumpulan objek., segitiga” merupakan nama suatu konsep abstrak bisa digunakan untuk membedakan contoh segitiga atau bukan. Contoh lain: “fungsi”, “variabel”, “konstanta”, “matriks”, vektor, group, dan ruang metrik” 
Ø Definisi
Ungkapan yang membatasi sebuah konsep. Contohnya (1) “trapesium adalah segiempat yang tepat sepasang sisinya sejajar” atau (2) ”trapesium adalah segiempat yang terjadi jika sebuah segitiga dipotong oleh sebuah garis yang sejajar salah satu sisinya”
Kedua definisi memiliki intensi yang berbeda tetapi memiliki ekstensi yang sama. Untuk menguji kesamaan ekstensi diberikan dengan pertanyaan, “adakah trapesium menurut definisi 1 yang tdk termasuk dalam trapesium menurut definisi 2 atau sebaliknya?” Definisi 1 termasuk definisi analitis: definisi yang menyebutkan genus proksimum (genus terdejat) dan diferensia spesifika (pembeda khusus). Definisi 2 termasuk definisi genetik: definisi yang menyebut bagaimana konsep itu terbentuk atau terjadi. Jenis definisi 3, definisi dengan rumus: (1) a – b = a + (-b), (2) n! = n(n-1)!
Ø Operasi
Suatu fungsi (aturan) untuk memperoleh elemen tunggal dari satu atau lebih elemen yang diketahui. Pengerjaan hitung, pengerjaan aljabar atau pengerjaan matematika yang lain. Operasi: unair (melibatkan satu elemen), biner (melibatkan dua elemen), terner (melibatkan lebih dari dua elemen). Unair: “tambah tiga”, komplemen, akar, dsb. Biner: “gabungan”, penjumlahan, perkalian, dsb.
Ø Prinsip
Objek matematika yang kompleks terdiri dari beberapa fakta, beberapa konsep, yang dikaitkan oleh suatu relasi atau operasi. Aksioma, teorema, sifat, dsb. 

          Pada hakekatnya, berfikir matemtika itu dilandasi oleh kesepakatan-kesepatan yang disebut aksioma. Karena itu matematika merupakan system yang aksiomatik yang dapat dikemukakan sebagai berikut.

          Suatu pembenaran dari teorema Tn dengan menggunakan teorema Tn-1 yang sebelumnya sudah diterima kebenarannya. Pembenaran Tn-1 dengan menggunakan Tn-2 yang sebelumnya sudah diterima kebenarannya. Demikian seterusnya sehingga sampai pada suatu prosisi To yang tidak perlu dibuktikan. Proposisi To inilah yang disebut teorema untuk system tersebut. To itu sendiri memerlukan pengertian pangkal yang tidak didefinisikan. Secara diagramatik uraian di atas “kemungkinan” adalah sebagai berikut.






Hubungan teorema dan pengertian pangkal
Pengertian
T3
T0
T2
T5
T4
T1
Tn

T6
T5
T1
Text Box: 6
 















Dalam system aksiomatik ini, kumpulan aksioma itu adalah sebagai berikut.
1.    Taat azaz
Kumpulan aksioma tersebut tidak boleh terjadi kontradiksi diantara aksioma-aksioma dalam kumpulan tersebut. Dalam pengembangannya juga tidak boleh terjadi kontradiksi.
Misalnya kita terapkan aksioma-aksima berikut.
A1.     2 + 3 = 1
A2.     1 + 2 = 2
A3.    (2 + 3) + (1 + 2) = 8
A4     Dalam hal yang sama ditambah dengan  dua hal yang sama menghasilkan dua hal yang sama.
Keempat aksioma tersebut tidak taat azaz sebab dengan menggunakan A4, bila A1 dan A2 digabung menghasilkan (2 + 3) + (1 + 2) = 1 + 2 =3 kontradiksi dengan A2.



2.    Lengkap
Kelengkapan dalam arti, merumuskan teorema-teorema dalam system matematika yang dimaksud. Aksioma-aksioma itu mencukupi. Misalnya, kita hilangan salah satu aksioma dari suatu system matematika yang telah kita ketahui, maka kita tidak akan merumuskan teorema-teorema karena aksiomanya tidak lengkap.

3.    Hubungan antar aksioma bebas
Hubungan antar aksioma tidak saling bergantungan sebab aksioma yang satu tidak dapat ditukarkan dari aksioma yang lain dalam system yang sama.
Misalnya kita tetapkan aksioma-aksioma berikut.
A1     Jumlah dua bilangan genap adalah genap
A2     Jumlah dua bilangan ganjil adalah genap
A3     2 + 4 adalah genap
Ketiga aksioma tersebut tidak saling bebas sebab A3 dapat diturunkan dari A1.
          Dari aksioma yang bersifat umum dapat diturunkan hingga memperoleh sifat-sifat khusus. Pola yang demikian ini disebut deduktif . Pola piker demikianlah yang banyak dipergunakan dalam berpikir matematik.
          Perumusan yang diperoleh dari berpikir induktif, bukan berfikir matematik. Menalar secara induksi (bedakan dengan induksi matematik) memerlukan hal-hal yang khusus yang kemudian ditarik kesimpulan menjadi hal umum. Dengan demikian dasar argumentasi untuk menarik kesimpulan, antara deduktif dan induktif berbeda.
          Walaupun matematika itu menggunakan penalaran deduktif, proses kreatif juga terjadi yang kadang-kadang menggunakan penalaran induktif, intuisi bahkan dengan coba-coba (trial and error). Namun pada akhirnya penemuan dari proses kreatif tersebut harus diorganisasikan dengan pembuktian secara deduktif. Teorema-teorema yang diperoleh secara deduktif itu kemudian dipergunakan untuk menyelesaikan berbagai masalah termasuk dalam kehidupan nyata.
Uraian diatas dapat disajikan dengan gambar berikut.



Gambar 5.2 rangkaian Aksioma Teorema-Penerapan
Teorema
 


                                Diorganisasikan

                       Induktif
                        Deduktif
                                                            Penerapan

Kesepakatan- kesepakatan Aksioma
Dunia nyata/alam sekitar dari pengamatan sebagai sumber inspirasi
 









                                                                 
B.   PENALARAN DEDUKTIF DALAM MATEMATIKA

Penalaran dalam matematika adalah deduktif. Penalaran demikian ini sulit dipisahkan dari logika.
Banyak masalah matematika berkaitan dengan pembuktian. Pembuktian yang menggunakan penalaran deduktif ini menggunakan kalimat yang mengandung “jika.....maka....”. Suatu kebenaran matematika dikembangkan berdasar alasan logik.
Pembuktian pada dasarnya merupakan penarikan kesimpulan yang sah dari premis-premis. Premis tersebut disebut juga hipotesis.
Beberapa cara pembuktian dapat dikemukakan sebagai berikut.

1.                 Pembuktian langsung
a.        Aturan dasarnya (p q)  q→q disebut modus ponendo ponens merupakan tautologi atau ditulis
Hipotesis (1) p→q
Hipotesis (2) p
Kesimpulan q
Misalnya, telah diketahui bahwa suatu segitiga samakaki, maka kedua alas sudutnya konkruen. Bila diketahui pula bahwa segitiga itu samakaki, maka dapat disimpulkan bahwa kedua sudut alasnya konkruen.
     Penjelasan logikanya sebagai berikut.
Suatu teorema menyatakan : “jika suatu segitiga itu samakaki (p) maka kedua sudut alasnya konkruen (q).
Simbol logikanya :
     Hipotesis (1) p→q sebagai teorema
     Hipotesis (2) p        sebagai diketahui
    Kesimpulan q  yang menyatakan bahwa kedua sudut alasnya segitiga samakaki konkruen.
b.    Implikasi transitif (p→q)(q→r)→(p→r) merupakan tautologi atau ditulis:
Hipotesis (1)  p→q
Hipotesis (2)  q→r
Kesimpulan  p→r
Misalnya dibuktikan bahwa di dalam himpunan bilangan cacah, kuadrat bilangan ganjil adalah ganjil.
Simbol logikanya : untuk x {bilangan cacah}, ( x)(x ganjil →  ganjil ).
     Proses pembuktiannya adalah sebagai berikut.
Hipotesis (1): x ganjil →ada n bilangan cacah sehingga x= 2n+1
Hipotesis (2): x= 2n+1→ =
                                    = 2(  + 1 adalah ganjil
Kesimpulan : x ganjil →  ganjil


2. Pembuktian tidak langsung
a.  Ada kalanya kita sulit membuktikan p→q secara langsung. Dalam keadaan demikian kita dapat membuktikan kontra positifnya, yaitu membuktikan kebenaran -q→-p sebab kedua pernyataan tersebut ekuvalen atau (p→q)→(-q→-p) merupakan tautologi.
Misalnya harus dibuktikan proposisi berikut.
Jika hasil kali bilangan asli a dan b ganjil (p), maka kedua bilangan tersebut ganjil (q) yang disimbolkan p→q.
  Untuk membuktikan proposisi tersebut, kita dapat membuktikan kontra positifnya yang berbunyi : “jika bilangan asli a dan b kedua-duanya tidak ganjil (-q) maka a.b tidak ganjil (-p) yang disimbolkan : -q→-p.
     Andaikan salah satu dari a atau b tidak ganjil (yang berarti genap)
     a= 2n →a.b = (2n)b
                      = 2(nb) genap (tidak ganjil).
Pembuktian dengan kontra positif ini juga dapat diubah menjadi (p→q) -q→-p merupakan tautologi yang disebut modus tollendo tollens atau ditulis
     Hipotesis (1) p→q
     Hipotesisi (2)     - q
     Kesimpulan   -p

b. Bila kita ingin membuktikan proposisi p, maka kita pandang negasinya p adalah –p. Kita harus membuktikan, dengan –p akan terjadi kontradiksi, misalnya q -q salah maka pemisalan –p menjadi salah. Dengan demikian –(-p) menjadi benar atau karena –(p) ↔ p maka p benar.
Dengan perkataan lain, kita tunjukan bahwa –(q-q) →-(-q) suatu tautologi. Pembuktian seperti ini disebut reductio ad absurdum. Misalnya kita membuktikan suatu teorema dalam geometry euclides yang berbunyi sebagai berikut. “jika I dan m merupakan dua garis yang berlainan yang tidak sejajar, maka I dan m itu berpotongan pada suatu titik tuggal.”
     Proses pembuktiannya sebagai berikut:
1.    I dan m tidak sejajar, berarti l dan m mempunyai suatu titik yang sama.
2.     Karena yang akan dibuktikan adalah ketunggalan titik, dipandang sebaliknya,  yaitu l dan m dimisalkan mempunyai dua titi potong di A dan B yang berbeda.
3.    Karena itu ada lebih dari satu garis yang melalui dua titik A dan B.
4.    Pernyataan (3) ini bertentangan dengan aksioma/postulat Euclides yang berbunyi : “Hanya ada satu garis yang dapat ditarik melalui dua titik A dan B “
5.    Disimpulkan l dan m berpotongan pada satu titik tunggal.

c.  Untuk membuktikan tidak kebenaran dari suatu generalisasi, kita pergunakan cukup dengan satu contoh saja yang dapat menggagalkan generalisasi tersebut.
Cara pembuktian seperti ini disebut contoh kontra.
     Prinsip pembuktian contoh kontra adalah sebagai berikut.
( x) p(x). x A.
Bila dapat ditunjukan bahwa untuk a A menghasilkan –p(a) maka ini berarti (x)-p(x). Ini ekuvalen dengan –((x) p(x) yang menggagalkan generalisasi yang dikemukakan.
Misalkan, kita akan membuktikan tidak benarnya proposisi ( n)(n(n+1)+41) adalah bilangan prima untuk n{bilangan asli}.
Ambil n=40 maka 40(40+1)+41=41.41 bukan bilangan prima.
Di sini juga sekaligus terlihat bahwa hasil pengamatan (kebenaran yang khusus) tidak dapat begitu saja kita benarkan generalisasinya.
     Perhatikan kembali contoh di ( n)(n(n+1)+41)) untuk n {bilangan asli} dengan kejadian-kejadian berikut.
Tabel 5.1. pembuktian dengan contoh kontra.
N
n(n+1)+41
Keterangan
1
2
3
4
5
1(1+1)+41=43
2(2+1)+41=47
3(3+1)+41=53
4(4+1)+41=61
5(5+1)+41=71
Bilangan prima
Bilangan prima
Bilangan prima
Bilangan prima
Bilangan prima
39
40
39(39+1)+41=1601
40(40+1)+41=1681=
Bilangan prima
Bukan bilangan prima

Penyimpulan dari penalaran induktif tidak dapat diterima sebagai kebenaran penalaran deduktif.

3.                 Induksi matematika
Induksi matematika biasanya dipergunakan untuk pernyataan-pernyataan yang menyangkut bilangan asli.
Induksi matematika ini berbeda dengan penalaran induktif yang telah disinggung diatas. Induksi matematika merupakan penalaran deduktif yang pada dasarnya menggunakan modus ponendo ponens.
Prinsip pembuktian adalah sebagai berikut.
Misalnya suatu pernyataan P tentang bilangan asli dinyatakan dengan P(n).
Jika kedua hal                    (1) P(a) benar untuk a{bilangan asli}
(2) untuk setiap bilangan asli k≥a, bila pernyataan P(k) benar maka p(k+1)benar.
Maka P(n) benar untuk semua bilangan asli n≥a.
Penggunaan modus ponendo pones terlihat berikut ini. Perhatikan P(n), n{bilangan asli}.
(1)   dan (2) berarti     P(a)→ P(a+1)
P(a+1)→p(a+2)
P(a+2)→P(a+3)
p(k) → P(k+1)
Jadi pembuktian induksi metematika merupakan penalaran deduktif.
Misalkan kita hendak mencari jumlah:
      1+2+3+.....+n
1.       penalaran deduktif
1+2                                      = 3    =
1+2+3                       = 6    =
1+2+3+4                   = 10  =
1+2+3+.........+n                 =
Hasil ? dalam matematika bukan hasil penalaran deduktif. Di sini akan ditunjukan langkah berikutnya yaitu dengan menggunakan induksi matematika.

2. Penalaran deduktif
Harus dibuktikan P(n) = 1+2+3+......+ n =
Bila  P(k) = 1+2+3+..................+k =
Maka P(k+1) = 1+2+3+............+k+ (k+1) =
                                   Benar
(1)                                                                           P(1) =
(2)                                                                           P(k) benar maka P(k+1)       = 1+2+3+......+k) + (k+1)
                                   =
                                   = (k+1) (
                                   =
                                   Benar
Jadi P(n) benar untuk setiap n bilangan asli.



C.   SISTEM AKSIOMATIK
Dalam uraian terdahulu  telah dikemukakan bahwa matematika berstruktur aksiomatik. System aksiomatik terdiri atas empat bagian dasar, yaitu pengertian pangkal ( underfined term ), aksioma, konsep yang didefinisikandan teorema.
Misalkan dalam system bilangan cacah, mempunyai empat bagian dasar berikut.
1.    Pengertian pangkal ; himpunan bilangan cacah C.
= { 0, 1, 2, … } dengan operasi + dan x, serta relasi =

2.    Aksioma
1)   Operasi  +
a.                 Untuk a, b ϵ C, a + b ϵ C
b.                Untuk a, b ϵ C, a + b = b + a
c.                 Untuk a, b ϵ  C, a + (b + c) = (a + b) + c
d.                Ada unsure identitas 0 ϵ C sehingga untuk a ϵ C berlaku a + c = 0 + a = a
e.                 Untuk a, b, c ϵ C, jika a + b = c + b maka a = c.

2)   Operasi  x
a.                 Untuk a, b ϵ C, a x b ϵ C
b.                Untuk a, b ϵ C, a x b = b x a
c.                 Untuk a, b ϵ  C, a x (b x c) = (a x b) x c
d.                Ada unsure identitas 1 ϵ C sehingga untuk a ϵ C berlaku a x 1 = 1 x  a = a
e.                 Untuk a, b, c ϵ C, jika a x  b = c x  b maka a = c, untuk b ≠ 0

3. Definisi
Untuk mengembangkan menjadi teorema, diperlukan definisi misalnya “ kurang dari” (symbol <) dan “lebih dari” (symbol >).

Relasi “kurang dari”
x > y berarti y < x


4. Teorema
Dari aksioma – aksioma dari definisi di atas dapat diturunkan teorema misalnya untuk x, y, z  ϵ C , jika x < y maka x + z < y + z .
Cara menurunkan teorema tersebut, menggunakan penalaran deduktif berikut.
1.       X < y                                                diketahui
2.       X + d = y                                         definisi <
3.       ( x + d ) + z = y + z                                   aks. 1)(c)
4.        x + ( d + z )= y + z                                   aks. 1)(c)
5.       ( x + z ) + d = y + z                                   aks. 1)(c)
6.       x + z < y + z                                              definisi <

Pembuktian menjadi lengkap.

Demikianlah dengan menggunakan definisi – definisi baru yang tidak saling bertentangan dengan definisi sebelumnya dan aksioma – aksioma serta teorema – teorema yang sudah dibuktikan, tersusun teorema – teorema baru.
Sifat – sifat yang terdapat pada obyek – obyek dari system bilangan cacah misalnya, sifat komutatif, disebut sifat – sifat struktur dari system bilangan cacah.
Secara lebih umum lagi, berikut ini dipaparkan selintas salah satu system matematika yang disebut Medan ( Field ).
1.    Pengertian pangkal
Unsur – unsur a, b, c … ϵ M. Paling sedikit ada dua unsur terdapat dalam M.
Operasi + dan x tidak selalu diinterpretasikan sebagai penjumlahan dan perkalian seperti pada aritmatika.

2.    Aksioma
 Untuk a, b ϵ M, a + b = c ϵ M.
 Untuk a, b ϵ M, a + b = b + a
 Untuk a, b, c ϵ M, a + (b + c)= (a + b)+ c
 Ada unsur identitas 0 ϵ M sehingga untuk setiap a ϵ M, a + 0 = 0 + a = a
 Setiap a ϵ M, ada tunggal –a ϵ M sehingga a + (-a) = (-a) + a = 0
Unsur –a disebut invers a.
 Untuk a, b, ϵ M, a x b = c ϵ M
 Untuk a, b, ϵ M, a x b = b x a
 Untuk a, b, c ϵ M, a x (b x c) = (a x b) x c
 Ada unsure identitas 1 ϵ M sehingga untuk setiap a ϵ M, a x 1 = 1 x a = a
 Setiap a ϵ M, a ≠ 0, ada tunggal  ϵ M sehingga  disebut invers    multiplikasi a
 Untuk a, b, c ϵ M, a x (b + c) = (a x b) + (a x c)

3. Teorema
Misalkan kita ingin membuktikan teorema berikut.
         : Jika a = b dan c = d maka a + c = b + d
      Bukti :
1.                      a = b ……………………………………………………..diketahui
2.                      c = d ……………………………………………………..diketahui
3.                      a + c = b + d ……………………………………jelas dari 1 dan 2
    : Jika a + b = c maka b = (-a ) + c
1.                      a + b = c …………………………………………………diketahui
2.                      (-a + a) + b = (-a) + c …………………………………
3.                      (-a + a) + b = (-a) + c …………………………………
4.                         0     +     b = (-a) + c …………………………………
5.                                b         =(-a) + c ………………………………….

Untuk mengembangkan, diberikan defines – definisi berikut.
a – b diartikan a + (-b)

         : Jika  a = b dan c = d maka a – c = b – d
 Bukti :
1.                a = b …………………………………………………diketahui
2.                c = d …………………………………………………diketahui
3.                a – c = a + (-c) …………………………………..definisi a – c
4.                b – d = b +(-d) …………………………………..definisi b – d
5.                a + (-c) = b + (-d) ……………………………...(1, 2)
6.                a – c = b – d ………………………………………..(3, 4, 5)
Kumpulan aksioma Medan ditambah lagi dengan sekumpulan aksioma yang secara bersama, seluruh itu menjadi suatu system matematika yang baru yang disebut Medan berurutan ( Ordered Field ).
1.             Relasi yang tidak didefinisikan : a > b dibaca a lebih dari b.
2.             Definisi relasi a < b, dibaca a kurang dari b berarti a < b jika dan hanya jika b > a.
3.             Aksioma
 s/d
 Untuk a, b, c ϵ  ada tepat satu relasi yang benar dari relasi - relasi a < b, a = b, a >b
 Untuk a, b, c ϵ  , jika a > b dan b > c maka a > c.
 Untuk a, b, c ϵ  , jika a > b maka a + c > b + c
 Untuk a, b, c ϵ  , jika a > b dan c > 0 maka a x c > b x c.

4.             Teorema
    : Jika  a > b dan c > d maka (a + c) > (b + d)
                              Bukti :
1.                       a + c > b + c ………………………….
2.                       a + c > b + d ………………………….
3.                       a + c > b + d ………………………….

    : a > b jika dan hanya jika -a > -b

a.  Hendak dibuktikan jika a > b maka –a < -b.
                             Bukti :
1. [(-a) + (-b) + a] > [(-a) + (-b) + b] …………………….
2. [((-a) + a) + (-b)] > [(-a) + (-b) + b] …………………
3. –b > -a .………………………………………………….
4. –a > -b ……………………………………………. definisi

b.       Hendak dibuktikan jika -a < -b maka a > b.
                              Bukti :
1. [(-a) + b + a] < [(-b) + b + a] ………………………….
2. [((-a) + a) + b] < [(-b) + (b) + a]……………………
3. b < a ………………………………………………….….
4. a  > b ..……………………………………………. definisi


    : Jika  a > b, c < 0 maka  a x c < b x c
                      Bukti :
1.             misalkan c = -d, d > 0
2.             a x d > b x d …………………………………………….
3.             –a x d < -b x d …………………….……………………..
4.             a x (-d) < b x (-d) ….……………………………………..
5.             a x c < b x c ...……………………………………substitusi.
   Demikian seterusnya, kita dapat mengembangkan teorema – teorema. Pengembangan selanjutnya, bukan pada tempatnya dibicarakan di sini. Di sini hanya ditunjukkan bagaimana berpikir matematik yang secara terstruktur bergerak maju selangkah demi selangkah secara sistematik. Setiap langkah harus dapat dipertanggungjawabkan.
  Yang telah dikemukakan di atas merupakan system matematik yang disebut Medan yang kemudian sifta- sifatnya dikembangkan lagi dengan menetapkan aksioma – aksioma tambahan sehingga menjadi ordered  field.
 Dengan sekelumit contoh pengembangan suatu system matematika yang aksiomatik   , dapat kita simpulkan bahwa matematika itu kemungkinan berkembang menjadi besar dan ini terbukti dengan penemuan – penemuan cabang matematika yang baru dan aplikasinya pun menyebar ke banyak cabang ilmu pengetahuan.


D.  PEMILIHAN KONSEP-KONSEP ESENSIAL

Untuk menetapkan konsep-konsep esensial tidak semudah yang diucapkan. Kita perlu menetapkan criteria apa yang dimaksud konsep esensial tersebut. Kriteria tersebut perlu didistribusikan sehingga terjadi kesepakatan tentag deskripsi konsep esensial untuk matematika di sekolah. Setelah kriteria itu jelas barulah kita mendiskusikan pokok bahasan/ sub pokok bahasan yang termasuk konsep esensial untuk ruang lingkup matematika di sekolah. Kalaupun penetapan konsep esensial matematika di sekolah sudah diterapkan dengan cara seperti itu, belum tentu kelompok diskusi yang lain akan menyepakatinya, walaupun bidang keahlian pengkaji sama.
Dalam pembicaraan berikut ini akan kita coba criteria konsep esensial untuk matematika SD. Konsep esensial yang dimaksud dapat berupa fakta, definisi, dan prinsip dasar untuk matematika SD.
1. Validitas
    Konsep yang dipilih harus mendukung tercapainya tujuan yang telah dirumuskan.
2. Signifikan
Konsep-konsep yang dipilih seyogyanyansaling berhubungan sehingga dapat diurut secara hirarkis dan merupakan satu kesatuan yang utuh sebagai bahan matematika SD yang rinciannya adalah sebagai berikut:
a.  Konsep yang mendasari konsep lainnya
b. Konsep yang memang dapat dipahami anak norma. Dengan perkataan lain, konsep-konsep tersebut harus sesuai dengan kesiapan anak normal
c.  Konsep yang memang bermanfaat untuk bekal kehidupan anak
d. Konsep yang banyak atau sering digunakan untuk menjelaskan konsep berikutnya. Konsep sebagai pengenal saja di SD, walaupun sangat diperlukan untuk tingkat pendidikan yang lebih tinggi tidak termasuk dalam criteria yang kita tetapkan.

Dengan criteria diatas, kita coba menetapkan konsep esensial untuk matematika SD. Asumsinya bagi siswa SD pada umumnya, mereka memerlukan kemampuan hitung-menghitung untuk bekal kehidupannya. Asumsi ini mendasari rumusan tujuan. Misalnya, himpunan :
1.       Validitas
konsep himpunan memang dipelukan karena memang mendukung tujuan
2.       Signifikan
a.     Konsep himpunan sebagai dasar untuk menjelaskan bilangan cacah. Bilangan cacah tidak mungkin diabaikan di matematika SD
b.    Konsep himpunan mudah dipahami siswa SD, karena pengertian himpunan dapat dijelaskan dengan benda konkret sesuai dengan tahap perkembangan intelektual siswa SD.
c.     Konsep himpunan memang sangat mudah dicerna anak  dan memang bermanfaat bagi kehidupan, namun konsep abstrak tidak diperlukan disini.
d.    Konsep himpunan akan sering digunakan untuk menjelaskan konsep-konsep matematika SD yang lain.
Kesimpulan : himpunan termasuk konsep esensial.
Misal yang lain, matriks :
1.    Validitas
     Konsep matriks mungkin tidak diperlukan untuk mendukung tercapainya tujuan.
2.    Signifikan
a.     Konsep matriks tidak mendasari konsep-konsep matematika SD yang berkaitan dengan hitung menghitung.
b.    Konsep matrik dapat dicerna oleh siswa, asalkan konsep disajikan dengan contoh-contoh konkret dalam kehidupan sehari-hari.
c.     Konsep matriks ini dapat diperlukan dalam kehidupan sehari-hari bila konsep matriks ini dikembangkan.
d.    Konsep ini rasanya tidak ada kelanjutan dalam matematika SD dengan demikian konsep matriks SD berfungsi sebagai pengenalan saja.
Kesimpulan : matriks bukan konsep esensial
Dari kedua contoh diatas, terlihat dalam menetapkan apakah suatu pokok bahasan merupakan konsep esensial, sangat dipengaruhi oleh subyektivitas individu yang menetapkan, walaupun criteria pemilihan konsep esensial sudah ditetapkan. Karena itu untuk menetapkan apakah suatu pokok bahasan merupakan konsep esensial, perlu forum diskusi yang melibatkan para ahli.